問題：由1至9當(dāng)中，取出N個(gè)數(shù)，使得當(dāng)中必有幾個(gè)數(shù)之和為10。求N的最小值。

答案：估算N的最小值，先把各數(shù)分為{1, 9}, {2, 8}, {3, 7}, {4, 6}及{5}共5組，若是取出6個(gè)數(shù)，必有兩數(shù)在同一組，於是該兩數(shù)之和為10，因此N的最小值小於或等於6。

若N為5，可找到{5, 6, 7, 8, 9}這個(gè)情況，當(dāng)中無論取多少個(gè)數(shù)之和，皆不是10。

故此N的最小值為6。

題解中先估算N的最小值，分組後得知最大為6，然後發(fā)現(xiàn)N為5時(shí)有反例，故此最小值為6。留意當(dāng)中找反例的一步是重要的，否則無法確認(rèn)最小值為6。

這題的好處是門檻低，且有技巧，情境裏需要的知識(shí)是極少的，要是語文能力足夠的話，初小階段就可以明白。不過當(dāng)中的技巧要用上分組的方法，即抽屜原理的相關(guān)技巧，對(duì)初小階段的學(xué)生略為困難。

雖然說知識(shí)基礎(chǔ)上看來可以放在初中或小學(xué)來提問，但實(shí)際上卻容易出現(xiàn)困難，比如學(xué)生未必有論證的意識(shí)，甚至未明白論證是什麼。可能他們做起來，有些學(xué)生只是試了幾個(gè)情況，看到經(jīng)驗(yàn)上好像6是對(duì)的就下了結(jié)論，而不是用推論去證明。

若是在數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)這些問題，答題時(shí)又多數(shù)只要求數(shù)字答案，那樣就無法分辨學(xué)生是依次試算得出結(jié)果，還是通過論證推導(dǎo)出來。

在初中的階段，水平較高的學(xué)生做數(shù)學(xué)題時(shí)，若要從無到有培養(yǎng)論證的意識(shí)，需要老師在指導(dǎo)過程中令學(xué)生懂得分辨，哪些結(jié)論是出於經(jīng)驗(yàn)的歸納，哪些是假設(shè)，哪些只是個(gè)別例子，用這些作為結(jié)論的根據(jù)，為什麼不可行。老師在質(zhì)疑學(xué)生的推論過程中，破除許多想當(dāng)然的假設(shè)，之後才可以建立論證的基礎(chǔ)。

訓(xùn)練論證的過程中，學(xué)生難免有些漏洞，比如上方的題解中，學(xué)生容易在找到最小值最大為6之後，未考慮N為5時(shí)的反例，於是無法解答為什麼N不能為更小的質(zhì)疑。

另外，學(xué)生若果在試驗(yàn)中得到最小值為6的結(jié)論，在檢查答案時(shí)，很容易會(huì)覺得已經(jīng)找到答案了，不明白為什麼要論證，又覺得自己的方法可行，並非未完善的方法。這些建立結(jié)論的過程當(dāng)中，由試驗(yàn)假設(shè)歸納過渡到論證，是需要老師在旁指導(dǎo)，解釋許多誤解的。

這次分享的題目裏只需很少的基礎(chǔ)，同時(shí)包含了解難中的智巧，能夠反映出學(xué)生在確定結(jié)論的方法上的錯(cuò)誤和發(fā)展空間，是一道有啟發(fā)性的題目?！駨堉净?/p>

●香港數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數(shù)培訓(xùn)之註冊(cè)慈善機(jī)構(gòu)(編號(hào)：91/4924)，每年均舉辦「香港小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克比賽」，旨在發(fā)掘在數(shù)學(xué)方面有潛質(zhì)的學(xué)生。學(xué)員有機(jī)會(huì)選拔成為香港代表隊(duì)，獲免費(fèi)培訓(xùn)並參加海內(nèi)外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。